Главная страница

С. Н. Боранбаев Математические модели и методы распределения ресурсов сети


Скачать 53.21 Kb.
НазваниеС. Н. Боранбаев Математические модели и методы распределения ресурсов сети
Дата10.02.2016
Размер53.21 Kb.
ТипСтатья

С.Н. Боранбаев


Математические модели и методы распределения ресурсов сети


(Евразийский национальный университет имени Л.Н.Гумилева, г.Астана)
Статья посвящена разработке методов и моделей распределения ресурсов сети. Предлагается использовать математические модели сетевой структуры.

Рассмотрим следующую оптимизационную задачу распределения ресурсов сети. Математическая модель этой задачи имеет сетевую структуру. Будем пользоваться терминологией и обозначениями работ [1-4].

Математическую модель задачи запишем в виде.
F(X,U,D) min, (1)



xi = Fi (Xi, Ui, Di ), iI, (2)

Xi = ,

Ui = .

xi = x0i, iI0, (3)
Состояние вершины Gi зависит от состояний узлов GjÌ I, управляющих объектов Wt , ÌV, и от значении параметров Di. Fi- вектор функция, в общем случае нелинейная относительно своих аргументов. Состояния входных вершин определяется условием (3).

Предполагается, что якобиан вектор функции Fi не вырождается при допустимых значениях управляющих воздействий. Тогда состояния xi вершин Gi, iI, при заданных x0i, iI0, и ut, tV определяется однозначно.

Будем предполагать, что функция F(X,U,D), Fi(Xi,Ui,Di) имеют непрерывные первые и вторые производные по первым двум аргументам. Из определения подграфа и соотношений (2) следует, что для компонент градиента целевой функции имеет место следующая формула
, tÎV, (4)

где

- это mt- мерный вектор, tÎV.

Полный вектор градиента целевой функции есть вектор

Для вычисления, матрицы вторых производных целевой функции по управляющим воздействиям

воспользуемся формулой (4).
(5)



при

при

при

при

при

при
Тогда получим относительно (5) следующее выражение:


(6)
Таким образом, формула (6) позволяет вычислить компоненты матрицы вторых производных. Формулы (4) и (6) позволяют применить к задаче (1) – (3) методы использующие первые и вторые производные.

Рассмотрим теперь оптимизационную сетевую задачу с ограничениями на управляющие воздействия и состояния объектов.
F(X,U,D) min,

xi = Fi (Xi, Ui, Di ), iI,
Xi = ,
Ui = .
xi = x0i, iI0,


,


Для решения этой задачи вычислим в текущей точке в пространстве управления градиенты ограничении на управляющие воздействия и состояния объектов.

Определеним компоненты искомых градиентов функции ограничений. Исключим из графа G все вершины Gi и Wj, соответствующие им ветви и , которые не содержат ни одну из вершин множество . Полученный подграф обозначим , множество вершин подграфа определяется индексными множествами и , тогда:



Введем вспомогательный вектор с компонентами , где

где f-вектор функции с компонентами fi, i=1,…,k,…,m. Вектор назовем импульсом i-го объекта относительно функции . В частности, если, то

Из определения подграфа следуют:





Используя введенное понятие импульса, получим соотношения относительно импульсов

Из полученных соотношений следует справедливость следующей теоремы.
Теорема.

Для справедливо:



Для i справедливо:



Для i справедливо:


Вычисление значений векторов импульсов проводится в обратном порядке, начиная с выходных вершин.

Полученные формулы позволяют вычислить компоненты градиента функции ограничении и применить численные методы для решения рассматриваемой задачи.
ЛИТЕРАТУРА

  1. Боранбаев С.Н. Алгоритмы решения задачи планирования и распределения ресурсов сети// Доклады НАН РК, 2003, №2, С.15-21.

  2. Боранбаев С.Н. Свойства метода планирования и распределения ресурсов сети// Известия НАН РК. Серия физико-математическая, 2003, №1, С.68-71.

  3. Боранбаев С.Н. Метод планирования и распределения ресурсов сети// Вестник НАН РК, 2003, №2, С.146-150.

  4. Boranbayev S.N. Optimality condition in optimization network tasks // 989th American Methematical Society Meeting. University of Colorado. Boulder, Colorado, USA, 2003, P.33.

  5. Боранбаев С.Н. Одна задача распределения ресурсов на сетях. //Математическое обеспечение и программно-технические средства для моделирования развивающихся систем. Киев: Институт Кибернетики им.Глушкова А.Н. УССР, 1986, с.27-32.


Боранбаев С.Н.

Құнарларды желілерде үлестірудің математикалық модельдері және әдістері

Мақала құнарларды желілерде үлестіру модельдерін және әдістерін жасауға арналған. Желілі құрамды математикалық модельдерді қолдану ұсынылады.

Boranbayev S.N.

Mathematical models and methods of distribution of resources of the network

Article is devoted to development of methods and models of distribution of resources of a network. It is offered to use mathematical models of network structure.