Главная страница

Решение: = = =


НазваниеРешение: = = =
Дата01.04.2016
Размер24.8 Kb.
ТипДокументы

1 тур

1. Точки А, В и С делят окружность на дуги, угловые величины которых относятся как 1:2:3. Найдите углы треугольника.

2. Разложите на множители многочлен .

3. Можно ли число 1974 представить как разность квадратов двух натуральных чисел?

4. Докажите неравенство .

5. 10 человек пришли в гости в калошах. Уходили они по одному, и каждый надевал произвольную пару калош, в которую он смог влезть (то есть не меньшего размера, чем его собственный). Какое наибольшее число людей не смогло надеть калоши?

2 тур

1. Площадь трапеции, основания которой относятся как 3:2, равна 35. Найдите площади треугольников, на которые трапеция разбивается диагональю.

2. Решить в целых числах уравнение .

3. Стороны треугольника 11, 12 и 13. Найдите медиану, проведенную к большей стороне.

4. Какое из чисел больше: или ?

5. Встречаются два математика. Один из них говорит: «У меня есть три сына и произведение их возрастов равно 36. Сколько им лет?» Второй математик не смог ответить на этот вопрос. Тогда первый сказал, что сумма возрастов его сыновей равна числу окон в доме напротив. И снова второй математик не смог ответить. Тогда первый сказал, что его старший сын рыжий. Тут второй математик сразу все понял. Сколько лет сыновьям первого математика?

1 тур

1. Точки А, В и С делят окружность на дуги, угловые величины которых относятся как 1:2:3. Найдите углы треугольника.

Ответ: 30°, 60°, 90°.

2. Разложите на множители многочлен .

Решение: = = =

3. Можно ли число 1974 представить как разность квадратов двух натуральных чисел?

Решение: 1974 делится на 2, но не делится на 4, в то время как если разность четна, то четны и и , следовательно, делится на 4.

Ответ. Нельзя.

4. Докажите неравенство .

5. 10 человек пришли в гости в калошах. Уходили они по одному, и каждый надевал произвольную пару калош, в которую он смог влезть (то есть не меньшего размера, чем его собственный). Какое наибольшее число людей не смогло надеть калоши?

Ответ. 5 человек.

Решение: Если есть 6 человек, то хотя бы для одного остались его собственные калоши. Пример, когда 5 человек не смогли надеть калоши, очевиден.

2 тур

1. Площадь трапеции, основания которой относятся как 3:2, равна 35. Найдите площади треугольников, на которые трапеция разбивается диагональю.

Ответ. 21 и 14.

2. Решить в целых числах уравнение .

Ответ. (0; 0); (1: 1).

Решение: ; .

3. Стороны треугольника 11, 12 и 13. Найдите медиану, проведенную к большей стороне.

Ответ. 9,5

Решение: Пусть АВС данный треугольник, АВ=11, ВС=12, АС=13, ВМ – искомая медиана. ИЗ треугольников АВМ и ВСМ выразим косинусы углов ВМА и ВМС. Так как косинусы смежных углов противоположны, то получим уравнение, из которого находим ВМ.

4. Какое из чисел больше: или ?

Ответ.

Решение: .

5. Встречаются два математика. Один из них говорит: «У меня есть три сына и произведение их возрастов равно 36. Сколько им лет?» Второй математик не смог ответить на этот вопрос. Тогда первый сказал, что сумма возрастов его сыновей равна числу окон в доме напротив. И снова второй математик не смог ответить. Тогда первый сказал, что его старший сын рыжий. Тут второй математик сразу все понял. Сколько лет сыновьям первого математика?

Ответ. 2, 2, 9.

Решение: 2, 2, 9. После второго ответа подходят лишь варианты 2, 2, 9 и 6, 6, 1.