Главная страница

Научный семинар теория разностных схем


Скачать 350.66 Kb.
НазваниеНаучный семинар теория разностных схем
Дата12.02.2016
Размер350.66 Kb.
ТипСеминар


Қазақстан Республикасының Министерство

Білім және ғылым образования и науки

министрлігі Республики Казахстан

Д. Серікбаев атындағы ВКГТУ

ШҚМТУ им. Д. Серикбаева
УТВЕРЖДАЮ

декан ФИТЭ
_________Мухамедиев Г.Х.

«___» _____________ 2014 г.

НАУЧНЫЙ СЕМИНАР

ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ


Специальность: 6D060100 – «Математика»

Өскемен,

Усть-Каменогорск

2014

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение в теорию разностных схем. Постановки задач математической физики. Трехслойные разностные схемы
а) Разностные схемы для уравнения колебания.

Рассмотрим краевую задачу для уравнения колебания:
(1)
Рассмотрим сетку ,


Шаблон для схемы имеет вид:

Здесь используются три слоя, поэтому разностная схема называется трехслойной, когда значения на слоях , – известны.
(2)
Разрешим (2) относительно , получим:
(3)

Разностная схема (2) имеет порядок аппроксимации .

Для счета на схеме (3) должны быть известны значения

Из начального условия получим:
. (4)
Замена условия – конечно разностным соотношением – имеет порядок

Выше было сказано, что схема (2) имеет порядок . Поэтому необходимо добиться аппроксимации и начального условия порядка .

Для этого используем разложение:

Из уравнения (1) следует, что

Тогда

Следовательно, если в место возьмем:
, (5)
который аппроксимирует со вторым порядком.

Совокупность (2), (4), (5) аппроксимируют уравнение (1) со вторым порядком по и .

Для исследования устойчивости будем искать решение (2) в виде:
(6)
Подставляя это выражение в (2) и сокращая на получим
(7)

Разностное уравнение (2) устойчиво, если оба корня уравнения (7) не превосходят по модулю 1.

Разностное уравнение (2) устойчиво, если при действительных выполняется равенство это выполняется
т.е. ,
при всех , если .
б) Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности.
Рассмотрим уравнение

Заменим явной симметричной схемой (схема Ричардсона):
(*)

Применяя метод гармоник, получим

Решим квадратное уравнение, имеем корни:

Один из корней всегда будет по модулю больше единицы, следовательно схема (*) абсолютно неустойчива (условно устойчива).

Заменим полусуммой, имеем (схему ромб: Дюфорта - Франкля);
Схема абсолютно устойчива.

Схема ромб, может быть записана в виде:


Т.е. схема ромб получена из схемы Ричардсона добавлением к левой части члена , обеспечивающего устойчивость.

2. Разностные схемы для одномерных уравнений эллиптического, параболического, гиперболического типов
1. Уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами
1.Исходная задача. Процесс распространения тепла в одномерном стержне описывается уравнением теплопроводности
(1)
где -температура в точке стержня в момент -теплоемкость единицы массы, -плотность, -теплоемкость единицы длины, -коэффициент теплопроводности, -плотность тепловых источников. В общем случае могут зависеть не только от и , но и от температуры (квазилинейное уравнение теплопроводности) и даже от (нелинейное уравнение). Если постоянны, то (1) можно записать в виде
(2)
где - коэффициент температуропроводности. Без ограничения общности можно считать

в самом деле, вводя переменные получим

Мы будем рассматривать первую краевую задачу (иногда говорят: начально-краевую задачу) в области Требуется найти непрерывное в решение задачи


(3)

2.Некоторые свойства решений уравнения теплопроводности. В силу принципа максимума для решения задачи (3) имеет место оценка
(4)
Рассмотрим однородное уравнение с однородными краевыми условиями:
(5)
Решение этой задачи находится методом разделения переменных в виде
(6)
где и - собственные значения и ортонормированные собственные функции задачи

Равные
(7)
Причем


В самом деле, все частные решения (гармоники) удовлетворяют уравнению и краевым условиям (5). Из начального условия

(8)
находятся коэффициенты

Из (6) и (8) следует
так как

Таким образом, для решения задачи (5) верна оценка
(9)
Выражающая свойство асимптотической (при ) устойчивости задачи (5) по начальным данным . в силу возрастания с ростом начиная с некоторого момента , в сумме (6) будет преобладать первое слагаемое (первая гармоника), т.е. будет иметь место приближенное равенство

Эта стадия процесса называется регулярным режимом.

3.Разностные схемы. В области введем сетку


с шагами: по и по . Заменяя производную по разностным выражением

вместо (3) получим систему дифференциально-разностных уравнений (метод прямых)


с краевыми и начальными условиями

Для численного решения этой задачи, по аналогии с гл. , заменим производную по разностным отношением

правую часть возьмем в виде линейной комбинации значений при (на -м слое) и (на -м слое):
(10)

где -параметр, а -некоторая правая часть, например,

и т.д. Сюда надо присоединить дополнительные условия
(11)

Схема (10) определена на 6-точечном шаблоне
Рассмотрим явную схему на 4-точечном шаблоне:
(12)
Значения на -м слое находятся по явной формуле


В случае получаем полностью неявную схему-схему с опережением на шаблоне :
(13)
Для определения из (13) получаем краевую задачу


которая решается методом прогонки.

Часто используется симметричная неявная схема (иногда ее называют схемой Кранка-Николсона) с и шаблоном :
(14)
Значения на новом слое и в этом случае находятся методом прогонки для краевой задачи:
(15)

В общем случае (при любом ) схема (10) называется схемой с весами. При она неявная и определяется методом прогонки как решение задачи

(16)
Перейдем к изучению свойств схемы (10) с любым .

3. Методы построения разностных схем для дифференциальных уравнений
Разностные схемы для уравнения теплопроводности
1. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. В области {00<T} требуется найти ре­шение уравнения

(1.1.1)

удовлетворяющее начальному условию

и(х, 0) =u0(x) (1.1.2)

и граничным условиям

(1.1.3)

Здесь u0(x), —заданные функции. Известно, что при определенных предположениях гладкости решение задачи (1.1.1)-(1.1.3) существует и единственно. В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем предполагать, что решение и(х, t) обладает необходимым по ходу изложения числом производных по x и по t. Решение задачи (1.1.1)-(1.1.3) удовлетво­ряет принципу максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных.

2. Явная схема. Для построения разностной схемы, надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон, т. е. множество точек сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения. Введем сетку по переменному х, т. е.

и сетку по переменному t с шагом , которую обозначим

Точки образуют узлы пространственно-временной сетки (см. рис. 10). Узлы принадлежащие отрезкам I0={0x1,t=0}, I1={x=0,0tT}, I2={x=1,0tT}, называются граничными узлами сетки , а осталь­ные узлы — внутренними. На рис. 1 граничные узлы обозначены крестиками, а внутренние — кружочками.

Слоем называется множество всех узлов сетки , имеющих одну и ту же временную координату. Так, п-м слоем называется множество узлов

Для функции y(x,t), определенной на сетке , введем обозначения yin=y(xi,tn),


Рис. 1. Пространственно-временная сетка .

Иногда для упрощения записи индексы i и п будем опускать, обозначая

Рис. 2. Шаблоны разностных схем: а —явная схема; б — чисто неявная схема; в — симметричная схема; г — трехслойная схема
Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке введем шаблон изображенный на рис. 2, а и состоящий из четырех узлов . Производную д2и/дt заменим в точке разностным соотношением , а производную д2и/дх2второй разностной производной . Правую часть f(x, t) заменим приближенно сеточной функцией в качестве можно взять одно из следующих выражений:

В результате получим разностное уравнение


которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке с первым порядком по и вторым порядком по h при условии, что разность имеет тот же порядок малости.

Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия — в граничных узлах сетки. Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей. В данном случае разностная схема имеет вид

hN=1,

Эта схема представляет собой систему линейных алгебраиче­ских уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных. Находить решение такой системы следует по слоям. Решение на нулевом слое задано начальными условиями Если решение на слое п уже найдено, то реше­ние на слое п+1 находится по явной формуле

а значения доопределяются из гранич­ных условий. По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой. Несколько позже мы познакомимся и с неявными схе­мами, в которых для нахождения при заданных требуется решать систему уравнений.

Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1)-(3). Подставляя в (6) получим уравнение для погрешности

hN=1,


где —погрешность аппроксимации раз­ностной схемы (6) на решении задачи (1)-(3), . Можно оценить решение уравнения (8) через правую часть и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по и вторым — по h. На примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимо­сти разностных схем. Покажем, например, что явную схему (6) можно применять лишь при условии означающем, что шаг по времени надо брать достаточно малым. Рассмотрим уравнение

т. е. однородное уравнение, соответствующее (5). Будем искать частные решения уравнения (9), имеющие вид

где i — мнимая единица, — любое действительное число и q — число, подлежащее определению. Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на получим

откуда найдем

Начальные условия соответствующие решениям вида (10) (их называют гармониками), ограничены. Если для не­которого множитель q станет по модулю больше единицы, то ре­шение вида (10) будет неограниченно возрастать при . В этом случае разностное уравнение (9) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий. Если же для всех действительных , то все решения вида (10) ограничены при любом п и разностное уравнение (9) называется устойчивым. В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно, так как погрешности (например погрешности округле­ния), внесенные в начальный момент времени, будут неограничен­но возрастать при увеличении п. Такие разностные схемы называ­ются неустойчивыми.

Для уравнения (9) неравенство выполняется согласно (11) при всех ф тогда и только тогда, когда . Таким образом, использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия . Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и по времени, называются условно устойчивыми. Следовательно, схема (6) условно устойчива, причем условие устойчивости имеет вид . Условно устойчивые схемы для уравнений параболического типа ис­пользуются редко, так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени. Действительно, пусть, например, h=10-2. Тогда шаг не должен превосходить и для того чтобы вычислить решение при t=1, надо взять число шагов по времени т. е. провести не менее вычислений по формулам (7). В следующем пункте будет показано, что многие неявные схемы лишены этого недостатка и являются устойчивыми при любых шагах ft и т. Такие схемы называются абсолютно устойчивыми.

3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной схемой для уравнения теплопроводности (схемой с опережением) называется разностная схема, использующая шаблон (см. рис. 2, б) и имеющая вид
Здесь . Схема имеет первый порядок аппроксимации по и второй — по h. Решение системы (12) нахо­дится, как и в случае явной схемы, по слоям, начиная с п=1. Одна­ко теперь, в отличие от явной схемы, для нахождения по известным требуется решить систему уравнений

где Эту систему можно решать методом прогонки, так как условия устойчивости прогонки выполнены.

Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения

имеющие вид (10). Тогда получим


следовательно, при любых h. Таким образом, схема (12) абсолютно устойчива, т. е. устойчива при любых шагах и h. Абсолютная устойчивость является основным преимуществом не­явных схем. Теперь уже не надо брать шаг слишком малым, можно взять, например, . Величина шагов сетки h определяется теперь необходимой точностью расчета, а не сообра­жениями устойчивости.

Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема

для которой начальные и граничные условия задаются так же, как и в схеме (12). Эта схема использует шеститочечный шаблон, изо­браженный на рис. 2,в.

Предлагаем самостоятельно доказать, что эта схема имеет второй порядок аппроксимации как по h, так и по (если только она абсолютно устойчива и ее можно решать методом прогонки.

Обобщением трех рассмотренных схем является однопарамет-рическое семейство схем с весами. Зададим произвольный дейст­вительный параметр о и определим разностную схему

При получим отсюда явную схему, при —чисто неяв­ную схему и при — симметричную схему (14). Исследуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной за­дачи (1)-(3). Представим решение задачи (15) в виде где —точное решение дифференциальной задачи (1)-(3). Тогда для погрешности получим систему уравнений

Сеточная функция входящая в правую часть уравнения (16) и равная

называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1)-(3). Получим первые члены разложения функции по степеням h и . Будем разлагать все функции, входящие в вы­ражение для по формуле Тейлора в точке Учитывая разложения где и"=д2и/дхг, u=du/dt, по­лучим

Отсюда, проводя разложение в точке (xi ,tn+1/2), и обозначая и=u(xi ,tn+1/2) будем иметь

и, перегруппировывая слагаемые, получим, что

Учитывая уравнение (1) u"-u=f и следствие из него uIY-u"=-f", окончательно можем записать, что

Из формулы (18) можно сделать следующие выводы. Если то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по и четвер­тый — по h. Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации. Если

то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по и по h. При остальных значениях и при схема (15) имеет первый порядок аппроксимации по и второй — по h. Опуская выкладки, отметим, что если искать решение уравне­ния (15) с в виде (10), то получим

и при всех , если

Отсюда видно, в частности, что все схемы с абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка аппроксимации также абсолютно устойчива, что проверяется непосредственно.

При разностная схема (15) является неявной схемой. Для нахождения решения по заданным требуется решать си­стему уравнений

где

Система (20) решается методом прогонки. Условия устойчивости прогонки при сводятся к не­равенству

и выполнены при Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы.


4. Аппроксимация краевых и начальных условий. Методы повышения аппроксимации
Рассмотрим уравнение
(1)
Пусть при заданы краевые условия третьего рода
(2)
(3)
Разностное краевое условие для (2) запишем на шаблоне

Покажем, что разностный аналог условия (2),
(4)
где аппроксимирует с тем же порядком, что и разностная схема с весами.

Подставим в (4):
(5)

Разложим в окрестности по формуле Тейлора:

Подставим

Отсюда, видно

Разностная схема для краевого условия (3) имеет вид:
(6)
где:
Введем обозначение

Запишем условия (4), (6) иначе.

Замечание: При получим условие 2 рода.

Счетный вид условий (4), (6)

5. Метод гармоник для исследования устойчивости разностных схем
Рассмотрим уравнение
(1)
Ищем решение частное (1) в виде:
(2)
где: – неизвестное, – мнимая единица, действительное число.

Подставим (2) в (1) имеем

Откуда


Начальное условие ограничено:

Если в решение (2) то решение вида (2) неограниченно растет при

Если же то для всех действительных решение (2) ограничено при и разносное уравнение называется устойчивым.

Неравенство выполняется при всех только тогда, когда откуда следует что

(3)

(3)-условие условной устойчивости схемы (1).

Рассмотрим неявную схему
(4)
По методу гармоник определим, что

В этом случае условие выполняется при любых .

Схема (4) абсолютно устойчива.
6. Разностные схемы с весами
Рассмотрим семейство схем с весами.

Зададим произвольный параметр и определим разностную схему.

При – явная схема

– неявная схема

– симметричная схема.
Задание: Доказать, что симметричная схема имеет порядок :

Исследуем погрешность аппроксимации схемы (5).

Положим и подставим в (5) получим:
(6)


.
Здесь
. (7)
Разложим в ряд Тейлора, члены из (7), имеем

Обозначим и разлогая в заменим итоге:

Группируя, получим


Учитывая, что и запишем окончательно:

(8)
Из (8) следует, что
Если ,
то схема (5) имеет порядок .
Если ; то схема (5) имеет порядок .
При остальных значениях и при имеет порядок

По методу гармоник имеем:
.

Откуда если при всех .

7) Отсюда видно, что все схемы с абсолютно устойчивы.

Схемы повышенного порядка при абсолютно устойчивы.

7. Принцип максимума
7.1 Принцип максимума и его следствия
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона: найти в

функцию из
(1)

При получим задачу Дирихле для уравнения Лапласа
(2)
Для задачи (2) выполнен принцип максимума: решение отличное от константы может достигать своего max по модулю только на границе, т.е.
.
Аппроксимируем уравнение (1) разностной задачей:
(3)
(4)

Разрешим (3), относительно в виде
(5)
Пусть – шаблон из пяти точек а – шаблон без точки

Тогда (5) примем вид:
(6)

- каноническая форма разностного уравнения.

Где:

Отсюда видно, что
.
Определим сеточный оператор
(7)
Обозначим

Тогда задачу (6) запишем в виде:
(8)
или

Условия положительности коэффициентов
(9)
Теорема 1: (принцип max). Пусть выполнены условия (9). Тогда, если функция заданная на не является постоянной и
(10)
при всех
то не может принимать наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения на среди всех её значений на .

Доказательство. Докажем от противного пусть в точке
(11)

Тогда
(12)
Согласно условию (9), имеем

т.е с другой стороны из условия (10)

т.е , откуда из (12)

для всех
нетрудно показать, что


Оценим величину

Из условий (9) и равенства получим, что
,
Получим противоречие. Таким образом, допущение (11) – неверное. ч.т.д.
Следствие 1. Если при всех

  1. выполняются условия (9);

  2. и найдется что ,

то для .

Следствия 2. Пусть выполнены условия (9) при и условие тогда задача (6) имеет единственное решение.

Пусть
(13)
Теорема 2. (сравнения) Пусть при всех выполнены условия (9) и тогда если
то ,
Рассмотрим функцию
тогда
.
В силу следствия 1 т.е
, ч.т.д.
Теорема сравнения позволяет доказать устойчивость решения 1-краевой задачи по граничным условиям.

Рассмотрим уравнение
. (14)
Следствия 3. (устойчивость по граничным условиям ). Пусть при выполнены условия (9). Тогда для решения (14) справедливо

9.2. Применение принципа максимума
Рассмотрим разностное уравнение
(1)
(2)
(3)
Оператор называется моннотонным оператором, если из условия следует что для .

Разностные схемы называются монотонными, если при всех удовлетворяют условиям (3).
Пример 1. Рассмотрим уравнение теплопроводности

(4)
Аппроксимируем схемы с весами
. (5)
Запишем в канонической форме
(6)
Условия (3) положительности коэффициентов сводятся к неравенствам
(7)

При условие (7) примем вид
. (8)
При условие (7) выполнено при

Пример 2. Рассмотрим уравнение

Аппроксимируем разностной схемой:

,
.
Запишем каноническую форму

Отсюда схема монотонна при условии

Это условие выполнено, если
.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.:Наука,1989

  2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М.: Наука, 1989

  3. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа.-М.:Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1962

  4. Крикунов Ю.М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям./ Изд-во Казанского университета, 1970

  5. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики./ А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Гостехиздат,1953

    1. Самарский А.А. Введение в численные методы: Учебное пособие М.: Наука,1982г.271с.

    2. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике: Учебное пособие. М.: Наука,1984г.190с.

    3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач: Учебное пособие. М.:Наука,1979г.285с.

    4. Кошляков Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики./ Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов, Физматгиз, 1962.

    5. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частых производных второго порядка, Наука, 1964.