Главная страница

Л. Н. Гумилев атындаЎы еу хабаршысы Вестник ену им. Л. Н. Гумилева, 2011, №6


Скачать 129.98 Kb.
НазваниеЛ. Н. Гумилев атындаЎы еу хабаршысы Вестник ену им. Л. Н. Гумилева, 2011, №6
Дата08.02.2016
Размер129.98 Kb.
ТипДокументы



Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6
Д.Б. Каргин, П.Ю. Цыба, К. К. Ержанов, Ж.А. Байтемирова

Моделирование теплоемкости композитных материалов на основе нанотрубок и

фуллеренов при высоких температурах

( Евразийский национальный университет им.Л.Н.Гумилева, г. Астана, Казахстан )
Композитные материалы с использованием компонентов на основе углеродных наноматериалов, в частности нанотрубок

и фуллерренов благодаря их высокой термической и механической стабильности рассматриваются как одно из наиболее

перспективных направлений исследований. В частности подобные композиты на основе наноматериалов могут найти

применение в горно-металлургической, нефтегазовой индустрии и пр. Условия эксплуатации техники в данных областях

часто осуществляются в критических условиях, в частности при высоких температурах. С этой точки зрения является

важным построить модель, описывающую теплоемкость подобных композитов обладающих комплексом необходимых

для промышленности свойств.

Введение. Рассмотрим векторное бозонное поле hr|F i = F (r, t) функционально связаное со

скалярной энергией


Π =

1

2


F : ~ : F =

1

2

3


i,j=1


FiKi,jFj,


(1)


где K~ = [Ki, j] тензор второго ранга, описывающий свойства среды. Следовательно, для

изотропной среды потребуем чтобы K~ = K ~ , и в результате



Π =

1

2

KF · F =

1

2

K |F|2.

Далее, используя преобразование Фурье, получаем



1

+∞



1

+∞



F(r, t) = √


−∞

B(r, ω)e−jωtdω, B(r, ω) = √


−∞

F (r, t)e−jωtdt.

Так как F (r, t) реальное поле, мы можем считать что B(r, −ω) = B∗(r, +ω) и следовательно

выражение для плотности энергии имеет вид

Π(r, t) = Π1(r, t) + Π2(r, t) + Π3(r, t) + Π4 (r, t) =

+∞ +∞

=

1



{





B (r, ω)e−jωtdω : K~ : B(r, Ї )e−j(ω+Ї )dωdЇ +

−∞ −∞

+∞ +∞

+





B (r, ω)e−jωtdω : K~ : B∗(r, Ї )e−j(ω+Ї )dωdЇ +

−∞ −∞

+∞ +∞

+





B ∗(r, ω)e−jωtdω : K~ : B(r, Ї )e−j(ω+Ї )dωdЇ +

−∞ −∞

+∞ +∞

+





B ∗(r, ω)e−jωtdω : K~ : B∗(r, Ї )e−j(ω+Ї)dω}.

−∞ −∞
Теперь, если среда имеет ортогональные собственные состояния
M(n)(r, t) = e−jω(n)tM(n)(r) = e−jω(n)t< r|(n) >
64




Д.Б. Каргин, П.Ю. Цыба,... .
< (n)|(m) >= e−j(ω(m)−ω(n))(n)(m)=δ(n)(m) и если собственный вектор |(n) > полный, мы

получаем |F >= ∑(n)|(n) для каждого бозонного поля |F > с fn=< (n)|F > , тогда
−∞

B(r, ω) =

1 ∫





f(n)e−jω(n)tM(n)(r)e+jωtdt=



2π ∑

fnM(n)(r)δ(ω − ωn)

+∞ (n)


1



и

(n)

Π1 (r, t) =
1

2
(n)

f(2n)M(n)(r) : K~ : Mn(r)exp(−j2ω(n)t) = Π∗4(r, t)

Π2(r, t) =

2

|f(2n)|M(n)(r) : K~ : M∗n(r)exp(−j2ω(n)t) = Π2(r)Π∗3(r, t).

(n)

(2)


Интегрируем (2), и получаем полную энергию
∫ ∫ ∫

1

E(t) =

Π(r, t)d3r = E1(t) + E2(t) + E3 (t)

∫ ∫ ∫

E2(t) = E3(t) =

|f(2n)|, E1 (t) = E1(t) =1f(2n)e−j2ω(n)

Mn(r) : K~ : M(n)(r)d3(r).

2

(n)

2

(n)
(3)

Здесь, вторая и третья части не зависят от времени, а первая и последняя колеблются с

частотой ±2ω , и дают нулевой вклад в медленно меняющиеся переменные по времени

компоненты. Теперь, при использовании (3) ясно, что полная средняя по времени энергия

системы имеет вид
1

E = ∑|f(n)|2=

n n

2

(f(n)fn+fnf(n)).

Теплоемкость определяется как
C = ∂E/∂T.


(4)


Чтобы получить C , достаточно знать распределение бозонов при данной температуре T при

термодинамическом равновесии. Теперь, фононная область при тепловом равновесии

определяется как [1]:


|ψ >= ∑|m > .

m
(5)

Здесь ψm и |m >= |m(0)> |m(1)> |m(2)...|m(n)>является коэффициентами расширения и

cобственными состояниями соответственно. Статистика Бозе-Эйнштейна требует, чтобы

вероятность состоянии mn бозонов была P (m(n))∞e−m(n)β(n) с β(n)=(n)/kT, где k –

постоянная Больцмана. Отсюда получаем



|ψ >= ∑ ⲚPm|m >=

m


N ∑exp(−

m

1

2

nm(n)β(n))|m >



N =YNn =Y[1 − exp(−β(n))]

(n) (n)
65

(6)




Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6
где N – постоянная нормировки, чтобы выполнялось условие < ψ|ψ >= 1 . Простая

проверка показывает что распределение Бозе-Эйнштейна для бозонов может быть получено

по этому методу как f (E) = [exp(kTE − 1)]−1 . Энергия системы при термодинамическом

равновесии при температуре T будет соответственно:



E =< ψ|H|ψ >= N ∑exp(− ∑mn) < m|H|m > .

m n
Упрощенно ее можно записать как:
E = ∑=(n)[exp(β(n) − 1)]−1+E0

n

(7)

(8)


где E0– энергия нулевых колебаний. Используя (4) мы получаем точное выражение для

теплоемкости [2]


C =
1

kT2


n
2

(n)[exp(~)ωn/kT − 1] .
(9)


Небольшой размер наноструктур делает спектр энергии дискретным и конечным, так, что (9)

имеет конечное число членов. Это позволяет вычислить точную величину (9) с помощью

численных методов. При высоких температурах мы можем считать что

exp(~ωn)/kT − 1 ≈ ~ωn/kT << 1 , ∀(n) ∈ ℵ3, так что E ≈ ∑(n)kT+ E0= LkT + E0, где L –

число мод системы. Таким образом C ≈ Lk будет независимо от T .

В пределе, можем принять, что теплоемкость имеет следующий вид:



C =
(~

kT
2 ∫∞

[ωexp(~ω/kT ) − 1]−2Ddω.

0

(10)


При постоянном значении D и достаточно большом значении температуры теплоемкость

принимает следующий вид
2

C =

(~

kT

D[ω − 1]−1|0.

(11)


Так для углеродных нанотрубок, при D(ω) = α , теплоемкость будет иметь следующий вид:
2

C =

(~

kT

α.

(12)


Фуллерены являются нольмерными наноструктурами углерода. Соответственно для

фуллерена мы можем считать что D(ω) = αω−1.

При достаточно большой температуре теплоемкость и в данном случае будет стремиться к

значению
2

C =

(~

kT

α.

(13)


Теплоемкость композитных материалов будем расчитывать согласно уравнению:
CV= ∑ νiCνi.

i
66




Д.Б. Каргин, П.Ю. Цыба,... .
В данном случае будем учитывать теплоемкость нанотрубки (фулеренов) и полимера. В

общем случае можем воспользоваться выражением Хечта Стокмайера.

ν=1




где f(x) =x2ex


( Tm

CV = 3R

ν=0

f (x)dI(ν)

(ex−1)2,x =

T,I(ν ) – приведенная интегральная функция распределения

частот нормальных колебаний. Tm – характеристическая температура.

Если взять приближенный случай слабой зависимости функции распределения частот от

температуры, то можно взять приблизительное выражение для теплоемкости полимера как

2

CV= 3R

(Tm

T

.

(14)

В данном случае общая теплоемкость композитного материала будет иметь следующий вид:


CV= νH

(~

kT

2
α + νn3R

(~νm

kT

2
(15)

Здесь νm – максимальная частота колебаний атомов твердого тела. Или:

2

CV= νH

(~

kT

Hα + νn3Rνn2).

(16)

Результаты. Таким образом нами получено в общем случае выражение для теплоемкости

композитного материала на основе полимера и наноматериалов при высокой температуре.

Расчеты показывают, что теплоемкость фуллеренов при достаточно большой температуре

будет эквивалентна теплоемкости нанотрубок. Поэтому при конструировании материалов,

которые планируется использовать при высоких температурах, с использованием нанотрубок

или фуллеренов, при выборе необходимо исходить в первую очередь из их прочностных

характеристик, так как они будут обладать практически идентичными теплоемкостными

характеристиками. Получено, что теплоемкость композитных материалов при высоких

температурах будет зависеть обратного пропорционально квадрату температуры.
ЛИТЕРАТУРА
1. Stroscio M. A. and Dutta M. Phonons in Nanostructures // Cambridge University Press. – 2001.

2. Schleich W. Quantum Optics in Phase Space // Berlin: Wiley-VCH. – 2001.

3. И.И. Перепечко., Введение в физику полимеров. М.: Химия. – 1978.– 312c.

Каргин Д.Б., Цыба П.Ю., Ержанов К. К., Байтемiрова Ж.А.

ЖоЎары температуралар кезiндегi нанотітiкше негiзiндегi композиттi материалдарды жылу

сыйымдылыЎын модельдеу

урамдастары к°мiртектi наноматериалдар, яЎни нанотітiкшелермен фуллерендердi жоЎары термиялы© және

механикалы© тіра©тылыЎына байланысты болатын, компазиттi материалдарды ©олдану зерттеу жімыстарыны

болаша©ты баЎыттарыны бiрi болып табылады. Жеке жаЎайларда наноматериалдар негiзiндегi осындай композиттер

таулы-металлургия, мінай-газ жiне т.б. °ндiрiстерiнде ©олданыс табуы мімкiн. АйтылЎан облыстарда техниканы

©олдану шарттары кризистiк жаЎдайларда, яЎни жоЎары температураларда iске асырылады. Міндай к°з©араспен

°ндiрiске ©ажет ©асиеттерге ие композиттердi жылу сыйымдылыЎын сипаттайтын модель ©урастыру маызды болып

табылады.

Kargin D. B., Tsyba P. Yu., Erzhanov K.K., Baitemirova Zh.A.

Modeling of the heat capacity of composites based on nanotubes and fullerenes at high temperatures

Composite materials with components based on carbon nanomaterials, including nanotubes and fullerene due to their high

thermal and mechanical stability are considered as one of the most promising areas of research. In particular, these composites

are based on nanomaterials may and applications in mining, oil and gas industry and others Operating equipment in these

areas are often carried out under extreme conditions, particularly at high temperatures. From this point of view is important

to construct a model describing the heat capacity of these composites. with required for industrial properties.

Поступила в редакцию 01.10.2011

Рекомендована к печати 19.10.2011

67