Главная страница

К. М. Сулейменов К. М. Сулейменов о вложении анизотропного пространства типа Никольского Бесова Bωp,θ


НазваниеК. М. Сулейменов К. М. Сулейменов о вложении анизотропного пространства типа Никольского Бесова Bωp,θ
страница1/4
Дата08.02.2016
Размер0.84 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4



К.М. Сулейменов
К.М. Сулейменов

О вложении анизотропного пространства типа Никольского - Бесова Bωp,θ(Rn) в

смешанной норме

(Университет "Туран - Астана", г. Астана, Казахстан)


В работе изучается вложение анизотропного пространства типа Никольского - Бесова Bω
n

p,θ(R ) в смешанной норме.

Найдены необходимые и достаточные условия вложения Bωp,θ(Rn) , причем, необходимость условия доказана при

дополнительных ограничениях.

Введение

Пусть Rn, как обычно, - n -мерное евклидово пространство точек x = (x1, ..., xn) с

действительными координатами. Всюду ниже пространство L∞(Rn) мы будем понимать как

пространство C (Rn) - всех ограниченных равномерно непрерывных на Rnфункций.

Всюду в тексте принято соглашение: при ρ = ∞

1

( ∞ )

ρ

}∫ t

{

1



t=0

|a|ρ

≡ sup |at| ;

t
0

|f (u)|ρdu

u

ρ

≡ sup |f (u)| .

0


Пусть дан мультииндекс p = (p1, ..., pn) , где 1 ≤ pj < ∞ (j = 1, ..., n) .

Через Lp(Rn) = Lp1,...,pn(Rn) обозначают множество всех измеримых функций

f (x) = f (x1, ..., xn) , для каждой из которых конечна смешанная норма







"


(∫

p2

p1

#

pn

pn−1

1

 pn

kf kp=





R1

...

R1

|f (x1, ..., xn)|p1dx1

dx2...



dxn



.


При p = (p, ..., p) получаем


1

kf kp≡ kf kp=

}∫
Rn

{

|f (x)|pdx

p

.


В дальнейшем через C (α, β, ...) = Cα,β,... обозначаются положительные величины,зависящие

лишь от входящих параметров и, вообще говоря, разные в различных формулах. Пусть A и

B - некоторые числовые функции, причем A неотрицательна. Тогда записи B = Oα,β,...(A) ,

B
α,β,...

A будут означать |B| ≤! (α, β, ...) A . При неотрицательных A и B запись A

означает B A .

α,β,... α,β,...
α,β,...

B

При данном целом k ≥ 1 всякую непрерывную неубывающую на [ 0 , 1 ] функцию

ωk (δ) такую, что (С > 0-число)

ωk (0) = 0, η−kωk (η) ≤ Cδ−kωk (δ) (0 < δ < η ≤ 1)
называют функцией типа модуля гладкости k - го порядка.

Говорят, что функция g (t) почти убывает на [ 0,1 ] , если существует число C ≥ 1 такое,

что при всех 0 ≤ t1< t2≤ 1 выполнено неравенство
g (t2) ≤ Cg (t1) .
Обозначим через Ωβ , β > 0 класс всех непрерывных строго возрастающих на [0,1] функций

ω (t) таких, что
15




Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6
ω (0) = 0, ω (1) = 1, ω (t) t−β почти убывает на [0, 1].

Вектор-функция ω (t) = (ω1(t) , ..., ωn(t)) принадлежит (по определению) классу Ωβ , где

β = (β1, ..., βn) , если ωj(t) ∈ Ωβjпри каждом j ∈ {1, 2, ..., n} .

Пусть p = (p1, ..., pn) , 1 ≤ pj < ∞, k = (k1, ..., kn) , kj ≥ 1 - целые числа и f ∈ Lp(Rn) .

Положим (j = 1, 2, ..., n)


ωkxjj,p (t, f ) = sup

h∈R1

|h|≤t




kj

hejf



p
(0 ≤ t ≤ 1) ,
(1)


где ej- единичный вектор, направленный вдоль оси xjи
kj

khejjf(x1, ..., xn) = ∑(−1)kj−mCkmjf(x1, ..., xj + mhj, ..., xn) .

m=0
Функция (1) называется модулем гладкости порядка kjфункции f в направлении оси >j.

Пусть p = (p1, ..., pn) , 1 ≤ pj < ∞, 0 < θ ≤ ∞, k = (k1, ..., kn) , kj ≥ 1 - целые числа, задана

вектор - функция w (t) = (ω1 (t) , ..., ωn (t)) такая, что для каждого j ∈ {1, 2, ..., n}

ωj(0) = 0, ωj(1) = 1, ωj(t) строго возрастает на [0,1] и пусть f ∈ Lp(Rn) .

Следуя М.Л. Гольдману [1], определим анизотропное пространство типа Никольского -

Бесова Bpωθ(Rn) в смешанной норме как пространство всех функций f ∈ Lp(Rn) , для

каждой из которых конечна величина

1

 

kfkB= kfkp+

n





∫ 1

" ωxkjjp (t, f )#θ

dωj (t) 

θ

при 0 < θ < ∞,

j=1  0


kf kB= kf kp+


n


j=1

ωj(t)


sup

0
ωj(t) 

ωxkjjp (t, f )

при θ = ∞.

ωj (t)


Отметим, что пространство зависит также от k , хотя это не отражено в обозначении.

Пусть ω (t) = (ω1 (t) , ..., ωn (t)) , где ωj (0) = 0 , ωj (1) = 1, ωj (t) непрерывны и строго

возрастают на [0,1]. При каждом j = 1, 2, ..., n для функции u = ωj(t) рассмотрим, обратные

функций и положим

n

t = Ω−1(u) =Yω−j1(u) .

j=1
Функция u = Ω (t) - обратная к функции t = Ω−1(u) =Qnj=1 ωj−1(u) называется средней

функцией системы {ωj (t)}nj=1.

Это определение для случая ωj (t) ∈ Ω1 введено В.И. Колядой (см., напр., [2]. В случае

βj≥ 1 , средняя функция u = Ω (t) изучалась М.Л. Гольдманом [1]. Там же показано, что

если ω (t) ∈ Ωβ1,...,βn, то Ωω (t) ∈ Ω(∑nj=1 βj−1)−1 .

В.И. Коляда [ 3 ] дал эквивалентное определение среднего модуля непрерывности:



Ωω (t) = Ω (t; ω1, ..., ωn) = inf

max ωj(tj ) (0 < t ≤ 1) .

t1·...·tn=t 1≤j≤n

o1. Вспомогательные утверждения
16




К.М. Сулейменов
Лемма 1 (см., напр., [1]). Если последовательность {ν (l)}∞`=0 такова, что
ν (l + 1)

ν (0) = 1, ≥ ν > 1, l = 0, 1, ...,

ν (l)

(2)

то для любых чисел α > 0, q > 0 и последовательности {at}∞t=0, at ≥ 0 верны неравенства




∑ ν (l)α

l=0



t=l


at
!q ∞

∑ ν (t)αaqt,

t=0





∑ ν (l)−α

l=1

l−1


t=0


at
!q

∑ ν (t + 1)−αaqt.

t=0

Лемма 2. Пусть даны числа a > 1, 0 < θ ≤ ∞ , α > 0, 1 ≤ qj≤ ∞ (j = 1, ..., n) и

последовательности {νj (t)}∞t=0(j = 1, ..., n) , каждая из которых удовлетворяет условию

(2), т.е.

νj(t + 1)

νj (0) = 1,

νj (t)

≥ νj > 1, j = 1, ..., n, t = 0, 1, ....

Положим ν (t) =Qnj=1 νj(t) .

Если

1

( ∞

) ρ

∑ (a−tν (t)α ρ

t=0

= ∞,

(3)


где q∗=
}minqj, если qj< ∞ при некоторомj,

и ρ =

( ∞ ?@8 0 < θ ≤ q∗,

θq∗ ∗

1, если qj = ∞ при всехj = 1, ..., n

θ−q∗?@8θ > q ,

1

то существует последовательность {at}t=0, at ≥ 0 такая, что (∑∞t=0aθtθ<∞ и
1

" ∞



#q

∑ (ata−tν (t)α q

t=0

= ∞.

Доказательство леммы следует из леммы 2 в работе [1] при ν = q∗.

Лемма 3 (см.[1]). Пусть 1 ≤ p < q < r ≤ ∞ и задана последовательность {ν (t)}∞t=0

удовлетворяющая условию (2) и пусть дан ряд вида




ψ (x) =
t=0

ψt(x) 2 Lloc1(R1,





где ψt∈ Lp(R1 ∩Lr (R1.

Тогда
( ∞

∑ h 11

)

11 iq

1

q


t=0

ψt(x)
q
t=0

tkrν (t) r

17

q + kψtkpν (t) p

q

.




Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6
Лемма 4 (Неравенство разных метрик Никольского в смешанной норме 4, стр.125). Пусть

p = (p1, ..., pn) , q = (q1, ..., qn) 1 ≤ pj< qj≤ ∞ и gν1,...,νn(x) - целая функция

экспоненциального типа ν1, ..., νnпо переменным x1, ..., xn. Тогда имеет место

соотношение



n

1

1

kgν1,...,νn(x)kq

Y
j=1

pj −qj

νj

kgν1,...,νn(x)kp.


Лемма 5 (Неравенство Юнга для смешанной нормы [5], стр. 24).

Пусть даны p = (p1, ..., pn) , q = (q1, ..., qn) , r = (r1, ..., rn) , rj= 1 −p1jq1j, 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ ,

функции f ∈ Lp(Rn) и K ∈ Lr(Rn) ,



I (x) =
Rn

f (y) K (y − x) dy.
Тогда


kIkq≤ kKkrkf kp.
В частности, при p = q

kI kp≤ kKk1kf kp.

Лемма 6. Пусть p = (p1, ..., pn) , 1 ≤ pj< ∞, j = 1, ..., n и даны последовательности

{νj(t)}∞t=0(j = 1, ..., n) , удовлетворяющие условию (2) . Тогда для всякой функции

f ∈ Lp(Rn) в представлении





(Q) : f (x) =
t=0

Qt (x) (вLp(Rn)), Qt ∈ mν(t),p

(4)

Функции Qtможно выбрать такими, что
Q0 = 0, kQ1kp ≤ kf kp, kQtkpEν(t−2)(f )p(t = 4, 5, ...) ,
где Eν(t−2)(f)p= Eν1(t−2),...,νn(t−2)(f )p- полные наилучшие приближения целыми

функциями экспоненциального типа порядка νj(t − 2) по j - ой переменной (j = 1, ..., n) .

Доказательство. Пусть f ∈ Lp(Rn) и пусть σν(f, x) сумма Валле-Пуссена порядка

ν = (ν1, ..., νn) функции f (x) (см., напр., [6], стр. 295), т.е.

1 ∫

σν (f, x) = Vν (x − u) f (u) du,

(x) =


n

Y


1


∫ 2νj

πn

sin yjxj

Rn

где

dyj=


n

Y


1


1

[cos νjxj− cos 2νjxj] ,

j=1

νj

νj

xj

j=1

νjx2j


причем для некоторого M (n) > 0 (зависящего только от n ) и всех νj> 0 (j = 1, ..., n)

выполнены неравенства
kVνkL1,...,1(Rn) ≤ M (n) .
18




К.М. Сулейменов
Так как Vν (f, x) ∈ L1,...,1(Rn) , то в силу неравенства Юнга для смешанной нормы (Лемма 5),

имеем

kσν(f, x)kp kVνk1kf kp.

Отметим, что для всякого f ∈ Lp(Rn) функция σν (f, x) есть целая функция

экспоненциального типа ν . Если fν(x) есть целая функция экспоненциального типа ν , то

для всех x ∈ Rnимеет место

σν (fν , x) = fν (x) .
Равенство σν(, x) = fν(x) в случае векторного параметра ν = (ν1, ..., νn) легко следует из

случая скалярного параметра, поскольку ядро Валле-Пуссена определяется как произведение

соответствующих одномерных ядер.

В самом деле, имеет место (ограничимся случаем n = 2, ν = (ν1, ν2) )

1 ∫

σν (fν12, x1 , x2) = Vν1(x1 − u1) · Vν2(x2 − u2) · fν12(u1, u2) du1du2 =

π2

R2


=

1 ∫


Vν1(x1− u1) ·

(1


Vν2(x2− u2) · fν1,ν2(u1, u2) du2du1= fν1,ν2(x1, x2) .

π

R1

π

R1

Пусть f (x) ∈ Lp(Rn) и пусть gν (x, f) = gν (x) есть функция, наилучшим образом

приближающая f в Lp(Rn) целыми функциями экспоненциального типа ν = (ν1, ..., νn) .

Тогда, учитывая тождество σν (gν , x) ≡ gν (x) и линейность оператора свертки σν , получим

kσv (f, x) − f (x)kp≤ kσv (f − gv , x) + gv (x) − f (x)kp≤ kσv (f − gv, x)kp+


+ kgv(x) − f (x)kp(kVvk1+ 1) kf (x) − gv(x)kpEv(f )p.

Далее, положим (см. также (1))
Q1 = Q1 (f, x) = σν(0)(f, x)
и
Qt = Qt (f, x) = σν(t−1)(f, x) − σν(t−2)(f, x) ?@8 t = 2, 3, ... .
Отсюда имеем (см. (5))

N


(5)

f −
t=1

Qt
p

= f − σν(N−1)pEν(N −1)(f)p→ 0 (N → ∞) ,
что показывает справедливость (4)

Тогда в силу (5)



kQtkp ≤ σν(t−1)(f, x) − f (x)p+ σν(t−2)(f, x) − f (x)kp
19




Л.Н. Гумилев атындаЎы ЕУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №6


Eν(t−1)(f )p+ Eν(t−2)(f )pEν(t−2)(f)p.
Включение Qt ∈ mν(t),p следует из теоремы Л.Шварца. Лемма доказана.

Лемма 7. Пусть p = (p1, ..., pn) , q = (q1, ..., qn) , 1 ≤ pj< qj≤ ∞ , заданы

последовательности {νj (t)}∞t=0,j = 1, ..., n , каждая с условием (2) и пусть дано разложение





(Q) : f (x) =
t=0

Qt(x) (вLp(Rn)), Qt∈ mν(t),p.

(6)


q∗=

Пусть также
}minqj , если; qj < ∞ при некотором j,

1, qj = ∞ при всех j=1,...,n.
Тогда верно неравенство


1



∞ "

max

(

11

#q q∗

kf kq≤ c (p, q, ν)





ν (t)1≤j≤n

pj

qjkQtkp



,

(7)

t=0
где ν (t) =Qnj=1 νj(t) , t = 0, 1, ... .



В случае p = p1 = ... = pn и q = q1 = ... = qn лемма 7 доказана М.Л. Гольдманом [1].

Доказательство. Достаточно доказать лемму для конечных сумм, а затем осуществить

предельный переход в оценке (7).

Если все qj = ∞ (j = 1, 2, ..., n) , то q∗= 1и неравенство (7) следует из (6) с помощью

неравенства треугольника и неравенства Никольского (лемма 4):




n
1

n
1

1

kf kq



t=0

kQtkq

∑ Y

t=0 j=1

νj(t)pjkQtkp

∑ Y

t=0 j=1

max

νj(t)1≤j≤n pjkQtkp=



t=0

max

ν (t)1≤j≤n pjkQtkp.


Пусть qj < ∞ при некотором j ∈ {1, ..., n} .

Сначала докажем лемму при n = 3 . Для определенности предположим, что q∗=q2, т.е.

q = (q1, q2, q3) иq1≥ q2, q3≥ q2,

и потому q = (q1, q∗, q3) .

Тогда имеет место соотношение
  1   2   3   4